특수 상대성이론(Theory of special relativity)

특수 상대성이론(theory of special relativity)은 빛의 속도와 같이 빠른 속도로 움직이는 물체들을 다루는 역학 이론이다. 특수 상대성 이론은 맥스웰 방정식에서 처럼 모든 관성계에서 관찰자의 속도와 무관하게 빛의 속도는 일정하다. 즉, 빛 또는 질량이 없는 입자의 속도는 정지한 관찰자가 보거나 움직이는 관찰자다 보거나 관계없이 항상 같다는 의미이다. 특수상대성이론은 시간과 공간이 절대적이지 않고 상대적이며, 속도에 따라 다른 결과를 도출한다. 이론에 따르면 시간은 상대적으로 흐르며, 고속으로 움직이는 물체는 시간이 느리게 흐른다는 것을 말한다. 또한, 고속으로 움직이는 물체의 길이는 축소되기도 한다. 특수 상대성 이론은 로렌츠 변환을 도입함에 따라, 시간과 공간을 역학적으로 구별하여 생각할 수 없게 되었고, 헤르만 민코프스키 공간을 도입함에 따라, 시간과 공간 중 하나에만 의존하는 측정량은 서로 다른 관성계에서 서로 다른 값을 가진다. 또한 특수 상대성 이론에서는 질량과 에너지는 같다(E = mc2)라는 질량-에너지 등가성을 주장한다. 

특수 상대성 이론의 가정

1. 모든 관성계에서는 같은 물리 법칙이 적용된다.(상대성 원리)

속도가 일정한(정지 또는 등속) 관성계에서는 모두 같은 물리 법칙이 동등하게 적용된다는 것이다. 정지 상태에서 공을 수직 위로 던지면 바로 그 자리로 다시 떨어진다. 이러한 현상은 등속으로 달리는 기차 안에서도 사과를 수직 위로 던지면 바로 그 자리로 떨어지므로, 정지 상대의 관성계나 등속 운동하는 관성계에서 같은 물리 법칙이 적용되는 것이다. 이와 같이 관성기준계에서 역학 법칙은 동일하게 나타나므로 본인이 정지해 있는지 아니면 등속으로 움직이고 있는지 알 수 있는 방법이 없다. 즉, 물리 법칙의 차이를 이용해서 두 관성계를 구분할 수 없다. 이것을 관성기준계에서 물리 법칙의 불변성이라 한다.

2. 모든 관성계에서 빛의 속도는 동일하다.(광속 불변의 법칙)

어느 관성계에서 관측하든지 빛의 속도는 동일하게 관측된다는 가정이다. 기존의 갈릴레오 변환에서는 어떤 관성계 (지표면)에 대하여 다른 관성계(비행기  A)가 시속 2000km로 움직이고 있고 그 다른 관성계(비행기 A)에서 미사일을 시속 5000km로 발사했을 때, 어떤 관성계(지표면)에서 관측한 미사일의 속도는 2000km + 5000km = 7000km이다. 하지만 아인슈타인의 가정하에서 빛의 속도를 적용시키면 어떤 관성계(지표면)에 대하여 초속 10000km의 속도로 움직이는 관성계(우주선 A)에서 레이저 빛(초속 300000km)을 우주선의 방향과 같은 쪽으로 발사할 경우 다른 관성계(지표면)에서 관측한 레이저 빛의 속도는 310000km가 되지만 이것은 빛의 속도는 300000km라는 사실에 어긋나므로 레이저 빛의 속도는 300000km로 가정한다는 것이다.

동시성의 상대성

특수 상대성 이론에 의하면 동시성은 좌표계에 따라 상대적이다. 즉 동시라는 것은 좌표계에 따라서 다르게 관측된다는 것이다. 한 좌표계에서 두 사건이 동시에 일어난 것으로 관측되었더라도 다른 좌표계에서는 두 사건이 동시에 일어나지 않은 것으로 관측될 수 있다. 이 원리는 수학자 앙리 푸앵카레가 1900년에 처음 발표하였다.
이 현상의 가장 유명한 예는 다음과 같다. 빠른 속도로 움직이는 기차가 있고 기차의 앞면과 뒷면의 정확한 중앙에 전등이 하나 놓여 있다. 이 전등이 꺼져 있다가 갑자기 켜진다고 하자. 이때 전등에서 나온 빛이 기차의 앞면에 도달하는 사건을 B, 뒷면에 도달하는 사건을 A 라 하자. 그러면 기차 안에 있는 사람은 A 와 B 가 동시에 일어났다고 관측할 것이다. 그 이유는 전등이 앞면과 뒷면의 정중앙에 있기 때문에 앞면과 뒷면으로 향한 빛의 진행 거리가 같았기 때문이다. 그러나 기차 외부에서 보면 A 가 B 보다 먼저 일어난 것으로 보인다. 외부에서 보면 빛은 앞과 뒤를 향해 같은 속력으로 진행하지만 뒷면은 빛을 향해 가까워지고, 앞면은 빛에서 멀어지게 된다. 따라서 뒷면으로 향한 빛이 앞면으로 향한 빛보다 가까운 거리를 이동하므로 먼저 도착하게 된다. 즉 두 관찰자의 동시가 일치하지 않는다는 것이다. 이것은 이와 같은 특수한 상황에서만 적용되는 성질이 아니라 어떠한 두 사건에 대해서도 성립하는 일반적인 법칙이다. 또한 이 성질은 시간 팽창과 길이 수축을 설명하는 데 기본적인 바탕이 된다.

시간 팽창(Time dilation)

 

특수 상대성 이론에 의하면 물체의 속도가 빨라지면 시간이 느려진다. 시간 팽창(Time dilation)은 어떤 관성계에서 상대속도를 가지는 다른 관성계를 관측할 때 시간이 팽창된 것으로 관측되는 것을 뜻한다. 즉 관성계 A에서 움직이는 다른 관성계 B를 보면 B의 시간이 상대적으로 느리게 가는 것으로 관측된다. 물론 모든 관성계는 동등하기 때문에 역으로 다른 관성계 B에서 관성계 A를 관측하면 A의 시간이 상대적으로 느리게 가는 것으로 관측된다.

 

(1) 우주선이 정지한 경우

 

우주선 안과 바깥이 동일한 관성계이다. 우주선의 바닥에서 방출된 빛이 천정까지 이동(L)한다고 가정하면  '거리 = (빛의)속력 × 시간'이므로 빛이 이동한 거리 L은

                                                                                                                                  t : 외부 관찰자가 측정한 시간

                                                                                                                                  t₀ : 우주선 내부 관찰자가 관측한 시간

                                                                                                                                  c : 광속

(2) 우주선이 속력  V 로 운동하는 경우

우주선 내부 관찰자가 볼 경우

우주선 바닥에서 방출된 빛이 천정까지 이동하는 데 걸리는 시간 및 거리는 우주선이 정지했던 경우와 동일하다(우주선의 이동 방향과 관계없이 수직 방향).

우주선 외부 관찰자가 볼 경우

우주선이 오른쪽 방향으로 운동한다면 우주선 바닥에서 방출된 빛이 천정까지 이동하는 거리는 우주선이 운동을 하므로 빗변 방향의 거리이고 우주선이 이동한 거리는 각각

 피타고라스 정리를 이용하여 t 를 구하면

                                                                                                                                  v는 우주선의 속도

마지막 식에서 v=0이 아니라면, t 는 t₀ 보다 항상 크므로 움직이는 우주선에서 측정되는 시간이 더 크다. 즉 시간이 늘어나는 것을 의미한다. 실제로 현실에서 속력이 빠를수록 시간은 느려지는데, 우리가 느끼지 못하는 이유는 v 가 광속에 비해 매우 작은 갑이기 때문에 시간 지연은 0이나 마찬가지이기 때문이다.

 

길이 수축

 

우주선 안과 바깥이 동일한 관성계이고 빛이 우주선의 왼쪽 발광기에서 출발하여 오른쪽 거울에서 반사되어 되돌아오는 경우

 

(1) 우주선이 정지한 경우(내부에서 관측하는 경우)

 

L₀ 사이의 거리를 빛이 왕복하는 데 걸리는 시간   t₀는 빛이 이동한 거리가 2L₀ 이므로 다음과 같다..

(2) 기차가 속력 V로 달리고 있는 경우

 빛이 오른쪽으로 진행하여 거울까지 가는 데 걸리는 시간을 t₁, 거울에서 반사되어 출발점으로 돌아가는 데 걸리는 시간을 t 라 하면  A에서 B까지 빛이 이동한 거리는  L+V t₁, 빛의 관점에서 움직이는 거리는 c t ₁이고 두 값은 같으므로

또 B에서 반사되어 D까지 이동한 거리는 L-Vt₂ 빛의 관점에서 움직이는 거리는 ct₂이고 두 값은 같으면

빛이 돌아오는 데 걸리는 총 시간 t는

 빛이 왕복하는 데 걸리는 시간 t는 시간 팽창 방정식과 같다. 

따라서 정리하면 다음 식이 성립한다.

결과적으로 움직이는 물체의 길이는 항상 수축된 상태로 측정됩니다. 또한 같은 대상이라도 누가 측정하느냐에 따라 다른 값으로 측정된다. 이 식에서 루트 부분은 항상 1 보다 작은 값이므로 속도 V로 움직이는 물체의 길이 L은 고유의 길이 L₀ 보다 항상 작다는 것을 알 수 있다. 길이 수축의 효과는 움직이는 물체의 속도가 광속에 가까울수록 커진다. 일반적인 현실에서는 광속에 비해 물체의 속도가 매우 느리기 때문에 우리가 느낄 수 없는 것이다.